La convessità di un’obbligazione è la pendenza della curva che mette in relazione prezzo e rendimento. Misura la variazione della durata dell’obbligazione a seguito di una variazione del rendimento
Matematicamente, è espresso come la seconda derivata della curva prezzo-rendimento. La formula è la seguente:
La variazione del prezzo di un’obbligazione dovuta a variazioni dei tassi di interesse è la somma della variazione dovuta alla durata modificata e della variazione dovuta alla convessità dell’obbligazione.
Se la convessità di un’obbligazione è pari a 100, il prezzo dell’obbligazione cambierà di un ulteriore 1% per ogni 1% di variazione dei tassi di interesse, oltre a quello calcolato per la durata. Se la convessità di un’obbligazione è pari a zero, il prezzo dell’obbligazione cambierà con le variazioni dei tassi di interesse l’importo causato dalla durata dell’obbligazione.
Rapporto tra la convessità di un legame e la sua durata
La convessità di un’obbligazione ci dà una misura molto più precisa dei cambiamenti di prezzo e di redditività di un’obbligazione. La durata di un’obbligazione presuppone che il rapporto prezzo-prestazioni sia costante. Tuttavia, la realtà è ben diversa. Quindi, quando ci sono piccole variazioni di prezzo/profittabilità, la durata è una misura accettabile. Ma per le variazioni più grandi il calcolo della convessità diventa essenziale.
Matematicamente può sembrare un termine un po’ astratto. Poiché è molto più facile da capire graficamente, vediamo come viene rappresentato. Nei due grafici seguenti vediamo rappresentati sia la durata che la convessità.
Più basso è il rendimento del titolo, più alto è il suo prezzo. E, al contrario, più alto è il rendimento del titolo, più basso è il suo prezzo. Naturalmente il prezzo non cambia nella stessa proporzione se il suo rendimento passa dal 10 al 12% come se passasse dall’1 al 2%. Questo è ciò che tiene conto della convessità. La durata presuppone che la variazione di prezzo sia sempre la stessa. Mentre la convessità tiene conto del fatto che la variazione del prezzo non è costante. La differenza tra la linea blu e la linea arancione è la convessità stessa. La linea arancione è la variazione del prezzo dell’obbligazione tenendo conto della durata. Infine, la linea blu rappresenta la variazione del prezzo del titolo in base alla durata e alla convessità.
Esempio di convessità di un legame
Abbiamo un’obbligazione con scadenza a 10 anni. La cedola è del 7% e il titolo ha un valore nominale di 100 euro. Il TRI del mercato è del 5%. Ciò significa che le obbligazioni con caratteristiche simili offrono un rendimento del 5%. O quello che è lo stesso, il 2% in meno. Il pagamento del coupon è annuale.
Se il rendimento dell’obbligazione passa dal 7% al 5%, quanto varia il prezzo dell’obbligazione? Per calcolare la variazione che il prezzo avrebbe avuto in caso di variazione del tasso di interesse, avremo bisogno delle seguenti formule:
Calcolo del prezzo delle obbligazioni:
Calcolo della durata del bonus:
Calcolo della durata modificata:
Calcolo della convessità:
Calcolo della variazione di durata:
Calcolo della variazione della convessità
Calcolo della variazione del prezzo delle obbligazioni:
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Utilizzando le formule di cui sopra si ottengono i seguenti dati:
Prezzo delle obbligazioni =115,44
Durata = 7,71
Durata modificata = 7,34
Convessità = 69,73
La variazione di prezzo a fronte di un calo del 2% del rendimento dell’obbligazione è pari a +14,68% tenendo conto della durata. La variazione del prezzo del titolo, tenuto conto della convessità, è pari a +1,39%. Per ottenere la variazione totale del prezzo dobbiamo aggiungere le due varianti. Il calcolo mostra che un calo del 2% di questa obbligazione aumenterebbe il prezzo del 16,07%.