Il matematico giapponese Kiyosi Ito ha espresso la regola della catena del calcolo stocastico nel 1951, facendo così conoscere il famoso motto che porta il suo nome
Il calcolo stocastico definisce la controparte del calcolo deterministico di Newton-Leibniz per le funzioni casuali. Infatti, il calcolo stocastico di Ito è uno degli strumenti più utili nelle financiere della matematica moderna, su cui poggia praticamente tutta la teoria e l’analisi economica financiero in continuo.
Più precisamente, nel commercio azionario, il termine stocastico si riferisce alle variazioni dei prezzi di chiusura. In altre parole, i trader utilizzano l’analisi stocastica per decidere quando acquistare e vendere titoli; la loro ipotesi è che quando il prezzo di chiusura corrente di un titolo è vicino al suo precedente prezzo basso o alto, allora il prezzo del giorno successivo non sarà drasticamente più alto o più basso, rispettivamente.
In questa prospettiva, il motto di Ito è spesso usato per derivare il processo stocastico seguito dal prezzo di una sicurezza derivata. Ad esempio, se il sottostante (il sottostante è la fonte da cui deriva il valore dello strumento finanziario) segue il movimento geometrico browniano, allora il mantra giapponese dimostra che anche un titolo derivato – il cui prezzo è funzione del prezzo del sottostante e del tempo – segue il movimento geometrico browniano.
Per una migliore comprensione di questa teoria, dovremmo prima ricordare cos’è il movimento browniano: è lo spostamento casuale – per caso – osservato in alcune particelle microscopiche quando sono in un mezzo fluido, in un liquido.
Fu lo scozzese Robert Brown – a cui deve il suo nome – il biologo che scoprì il fenomeno nel 1827, ma la sua descrizione matematica fu elaborata da Albert Einstein, anche se molti anni dopo, nel 1905. Tuttavia, in seguito a questa dimostrazione, il famoso premio Nobel tedesco ha aperto le porte della teoria atomica e ha dato inizio al campo della fisica statistica.
Detto questo, il rapporto del principio browniano con il motto di Ito si spiega così: se due valori hanno la stessa fonte di rischioNel caso dei derivati finanziari, una combinazione appropriata dei due titoli può eliminare tale rischio; pertanto, in linea di principio, i derivati finanziari sono nati per limitare tali rischi.
Inoltre, questo risultato ha portato allo sviluppo del modello matematico Black-Scholes-Merton – il primo campione analitico completo per valutare opzioni– e quella di numerose teorie e applicazioni moderne di copertura.